概念

在图论中，比如最短路、网络流等，题目会有一些额外的对边的权值的操作。比如可以将一定数量的边权减半或者变为0，然后在此基础上求最优解。
下图中，黑色的边相当于正常的建边，蓝色的边相当于一次特殊的权值操作（减半或者变0）。从一个点到另一个点，如果选择特殊操作，就从这一层到达下一层。
在这里插入图片描述建边操作的代码：空间复杂度O(mk)

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cin>>n>>m>>k;
while(m--) 
{
    int a, b, c; cin>>a>>b>>c;
    add(a, b, c);
    add(b, a, c);
    for(int j = 1; j <= k; j++)
    {
        // j层和j+1层之间建边，0代表特殊操作为 边的权值变为0
        add(a+(j-1)*n, b+j*n, 0);
        add(b+(j-1)*n, a+j*n, 0);
        
        // j+1层建边
        add(a+j*n, b+j*n, c);
        add(b+j*n, a+j*n, c);
    }
}

应用

acwing 340通信线路

题意
在这里插入图片描述

题解

建分层图，每两层之间建的边权为0，然后跑最短路。但题目最终要求的是路径上最大值是多少，所以dis的转移方程要变为

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if(dis[v] > max(dis[u], e[i].val))
{
    dis[v] = max(dis[u], e[i].val);
    q.push(node{v, dis[v]});
}

代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 

typedef long long ll;
#define endl "\n"
#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define pii pair<int, int>
#define pll pair<ll, ll>
#define pdd pair<double, double>
#define debug(a) cout<<"\tdebug:"<<a<<endl
#define for1(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define for2(i, b, a) for(int i = b; i >= a; i--)
const double PI = acos(-1.0);
const int mod = 998244353;
const int eps = 1e-8;
const int N = 10 + 1e6;

void slove();
template<typename T>void read(T &x)
{
    x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;
    while(!isdigit(ch)){if(ch == '-') f *= -1; ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)){x = x*10+ch-48; ch = getchar();} x *= f;
}
template<typename T>void print(T x) 
{
	if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if(x >= 10) print(x/10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE 
    freopen("in.in", "r", stdin);
    freopen("out.out", "w", stdout);
#endif
    IOS;
    slove();
    return 0;
}

int n, m, tot, k, s, t;
int vis[N], head[N], dis[N];

struct edge
{
    int to, next, val;
}e[N];

struct node
{
    int to, val;
    bool operator < (const node&b) const
    {
        return val > b.val;
    }
};

void add(int u, int v, int val)
{
    e[tot].to = v; e[tot].val = val; e[tot].next = head[u]; head[u] = tot++;
}

void dijkstra(int s)
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[s] = 0;

    priority_queue<node> q;
    q.push(node{s, 0});
    
    while(!q.empty())
    {
        node x = q.top(); q.pop();
        int u = x.to;
        if(vis[u]) continue;
        vis[u] = 1;
        for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].next)
        {
            int v = e[i].to;
            if(dis[v] > max(dis[u], e[i].val))
            {
                dis[v] = max(dis[u], e[i].val);
                q.push(node{v, dis[v]});
            }
        }
    }
}


void slove()
{
    memset(head, -1, sizeof head);
    cin>>n>>m>>k;
    s = 1; t = n;
    while(m--) 
    {
        int a, b, c; cin>>a>>b>>c;
        add(a, b, c);
        add(b, a, c);
        for(int j = 1; j <= k; j++)
        {
            // j层和j+1层之间建边，0代表特殊操作为 边值变为0
            add(a+(j-1)*n, b+j*n, 0);
            add(b+(j-1)*n, a+j*n, 0);

            // j+1层建边
            add(a+j*n, b+j*n, c);
            add(b+j*n, a+j*n, c);
        }
    }
    // 加上这一段代码就代表着最终答案答案一定在k+1层图的第n个点也就是dis[(k + 1) * n]
	// 当然也可以不加这一段,在每一层的第n个点找最小的值
	//	for(int i = 0; i <= k; i++) ans = min(ans, dis[n+i*n]);
  
	// 要防止从1到n存在一条路的边数小于k !!!!!!!
    for(int i = 1; i <= k; i++) add(i*n, (i+1)*n, 0);
    dijkstra(s);
    if(dis[(k+1)*n] == inf) cout<<"-1"<<endl;
    else cout<<dis[(k+1)*n]<<endl;
}